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将式(3)表示的控制对象模型和直线电机电流放大环节组合并进行换算,使之具有分母系列表现形式[7],得到:
式中:w(s)是控制系统参考模型;a(s)是控制对象;c(s)是PID控制器的分子项,其中包含控制器待定参数。
基于模型匹配的PID控制器参数设计方法[5,7,8],为了使低次调节器通过参数调节满足高次控制对象的控制响应要求,按照模型跟踪控制的ITAE规则[9],选择闭环控制系统的标准传递函数为
式中:σ0、σ1、σ2和σ3为闭环控制系统的标准传递函数系数;α为控制系统自由设计参数,通过α值的不同来平衡控制系统对指令响应和扰动抑制。根据模型跟踪控制的ITAE规则,推荐闭环控制系统的标准传递函数系数(σ0,σ1,σ2,σ3)=(1,1,0.5,0.15)。根据式(7)和式(8)可得PID控制器的参数数值表达式为:
在式(9)—式(11)中,当控制对象模型和参考模型确定后,参数a0、a1、a2、σ2均可获得,而α为控制系统自由设计参数,表征闭环控制系统的时间常数。当α>0.0015时,控制系统闭环频率特性产生低频谐振,当α减小时,闭环系统谐振逐渐减小,而且闭环控制带宽也得到提高,系统相位滞后量减小。由此可知,在α<0.0015,所设计的PID控制器具有较好的定平台振动抑制效果。但如果α太小,PID控制系统的闭环控制带宽增加较快,一方面会将测量噪声引入到系统,影响系统的稳定性,另一方面,闭环控制带宽还要受采样频率的限制,因此α的选取要综合考虑。
3 控制系统的实验研究
系统实验的工作台及控制器参数如表1所示,取α=0.00075,可获得PID控制的表达式为
kPID(s)=2.46×105s2+3.212×107s+1.341×109/s. (12)
运动控制卡为具有开放伺服算法的Turbo-PMAC1,16位D/A输出,运动控制卡的采样周期和D/A刷新周期T为110μs。直线电机反馈光栅分辨率为0.1μm。利用PMAC的数据采集功能,采集光栅数据,然后利用Matlab得到如图4、5、6所示的实验结果。
图4为利用本文所提方法设计的控制器,1μm阶跃响应的仿真曲线和实测曲线。可以看出,系统的上升时间、超调量、建立时间与仿真结果都比较接近,系统有较好的动态响应特性。
 图5是精密工作台以120mm/s匀速运动时两种控制方式的轨迹跟踪误差曲线。采用PID+AF控制方式时,工作台跟踪误差平均值为1μm,跟踪误差波动范围为5μm;采用本文设计的PID控制器,轨迹跟踪误差平均值为0.5μm,跟踪误差波动范围为2μm。
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